Wstęp: Świat Liczb Zespolonych – Most Pomiędzy Rzeczywistością a Wyobraźnią
Dla wielu uczniów i studentów, spotkanie z liczbami zespolonymi stanowi moment przełomowy w edukacji matematycznej. To rozszerzenie klasycznego systemu liczb rzeczywistych, otwiera drzwi do rozwiązań problemów, które w innym przypadku pozostawałyby nierozstrzygnięte. Liczby zespolone, choć początkowo mogą wydawać się abstrakcyjne, są fundamentalnym narzędziem w wielu dziedzinach nauki i inżynierii, od fizyki kwantowej po elektrotechnikę. Niniejszy artykuł ma na celu kompleksowe przedstawienie wymagań i wytycznych dotyczących pracy z tymi fascynującymi bytami matematycznymi, ze szczególnym uwzględnieniem ich relacji do liczb rzeczywistych.
W sercu definicji liczby zespolonej leży pojęcie jednostki urojonej \(i\), która jest zdefiniowana jako pierwiastek kwadratowy z -1 (tj. \(i^2 = -1\)). Dzięki niej każdą liczbę zespoloną \(z\) można przedstawić w postaci algebraicznej jako \(z = a + bi\), gdzie \(a\) i \(b\) są liczbami rzeczywistymi. Składnik \(a\) nazywamy częścią rzeczywistą liczby zespolonej \(z\), oznaczaną jako \(\text{Re}(z)\), natomiast \(b\) to część urojona, oznaczana jako \(\text{Im}(z)\). Warto podkreślić, że tradycyjna liczba rzeczywista jest w istocie szczególnym przypadkiem liczby zespolonej – takiej, w której część urojona \(b\) jest równa zero (np. \(5 = 5 + 0i\)). To sprawia, że świat liczb zespolonych jest naturalnym nadzbiorem dla liczb rzeczywistych, otwierającym nowe perspektywy analityczne.
Zrozumienie zarówno postaci algebraicznej, jak i trygonometrycznej (r(cos ϕ + i sin ϕ)) oraz wykładniczej (reiϕ) jest kluczowe do efektywnego rozwiązywania zadań. Każda z tych form ma swoje unikalne zalety w zależności od typu operacji. Postać algebraiczna jest idealna do dodawania, odejmowania i mnożenia, natomiast trygonometryczna i wykładnicza znacząco upraszczają potęgowanie, pierwiastkowanie oraz bardziej skomplikowane przekształcenia. W dalszej części artykułu zagłębimy się w specyfikę poszczególnych typów zadań, od podstawowych działań, przez rozwiązywanie równań, aż po ich geometryczną interpretację, zawsze pamiętając o roli i miejscu liczb rzeczywistych w tym rozszerzonym systemie liczbowym.
Podstawowe Operacje na Liczbach Zespolonych: Fundament Rozwiązywania Zadań
Zdolność do wykonywania podstawowych działań na liczbach zespolonych jest absolutną podstawą do zrozumienia bardziej zaawansowanych zagadnień. Te operacje są naturalnym rozszerzeniem zasad arytmetyki, które znamy z pracy z liczbami rzeczywistymi, z tą różnicą, że musimy uwzględnić obecność jednostki urojonej \(i\).
Dodawanie i Odejmowanie
Dodawanie i odejmowanie liczb zespolonych w postaci algebraicznej jest niezwykle intuicyjne. Postępujemy podobnie jak przy operacjach na wielomianach, grupując osobno części rzeczywiste i urojone. Jeśli mamy dwie liczby zespolone \(z_1 = a + bi\) i \(z_2 = c + di\), gdzie \(a, b, c, d\) są liczbami rzeczywistymi, to:
- Suma: \(z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d)i\)
- Różnica: \(z_1 – z_2 = (a – c) + (b – d)i\)
Widać stąd, że części rzeczywiste sumują się lub odejmują niezależnie od części urojonych, co znacznie upraszcza te operacje.
Mnożenie Liczb Zespolonych
Mnożenie w postaci algebraicznej wymaga zastosowania rozdzielności mnożenia względem dodawania, podobnie jak przy mnożeniu dwumianów. Kluczową zasadą jest pamiętanie, że \(i^2 = -1\). Dla \(z_1 = a + bi\) i \(z_2 = c + di\):
\(z_1 \cdot z_2 = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2\)
Podstawiając \(i^2 = -1\):
\(z_1 \cdot z_2 = ac + adi + bci – bd = (ac – bd) + (ad + bc)i\)
Wynikiem jest kolejna liczba zespolona, której część rzeczywista to \((ac – bd)\), a urojona to \((ad + bc)\). Mnożenie jest również znacząco prostsze w postaci trygonometrycznej lub wykładniczej, gdzie moduły się mnoży, a argumenty dodaje.
Dzielenie Liczb Zespolonych
Dzielenie jest nieco bardziej złożone i wymaga zastosowania pojęcia sprzężenia liczby zespolonej. Sprzężenie liczby \(z = a + bi\) to \({\bar{z}} = a – bi\). Kluczową właściwością sprzężenia jest to, że iloczyn liczby przez jej sprzężenie zawsze daje liczbę rzeczywistą nieujemną: \(z \cdot {\bar{z}} = (a + bi)(a – bi) = a^2 – (bi)^2 = a^2 – b^2i^2 = a^2 + b^2\). Jest to jednocześnie kwadrat modułu liczby zespolonej (\(|z|^2\)).
Aby podzielić \(z_1\) przez \(z_2\), mnożymy licznik i mianownik przez sprzężenie mianownika:
\(\frac{z_1}{z_2} = \frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c – di)}{(c + di)(c – di)} = \frac{(ac + bd) + (bc – ad)i}{c^2 + d^2}\)
Wynik również jest liczbą zespoloną, co pokazuje, że zbiór liczb zespolonych jest zamknięty na wszystkie cztery podstawowe działania arytmetyczne (z wyjątkiem dzielenia przez zero).
Moduł i Argument Liczby Zespolonej
Oprócz działań algebraicznych, fundamentalne są również pojęcia modułu i argumentu. Moduł liczby zespolonej \(z = a + bi\), oznaczany jako \(|z|\) lub \(r\), to jej odległość od początku układu współrzędnych na płaszczyźnie zespolonej. Obliczamy go jako \(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\). Moduł jest zawsze liczbą rzeczywistą nieujemną.
Argument liczby zespolonej, oznaczany jako \(\arg(z)\) lub \(\phi\), to kąt, jaki tworzy wektor reprezentujący liczbę zespoloną z dodatnią półosią rzeczywistą. Oblicza się go za pomocą funkcji trygonometrycznych: \(\cos(\phi) = \frac{a}{|z|}\) i \(\sin(\phi) = \frac{b}{|z|}\). Argument jest kluczowy przy przejściu na postać trygonometryczną i jest, podobnie jak moduł, liczbą rzeczywistą (kątem).
Sprawne opanowanie tych podstawowych operacji i pojęć jest niezbędne do rozwiązywania bardziej złożonych problemów i zrozumienia głębszych właściwości liczb zespolonych.
Równania z Liczbami Zespolonymi: Od Kwadratowych po Wielomianowe
Rozwiązywanie równań, w których niewiadoma jest liczbą zespoloną, to jedno z centralnych zagadnień w teorii liczb zespolonych. Choć często sprowadza się to do manipulacji algebraicznych, umiejętność identyfikacji typu równania i wyboru odpowiedniej metody jest kluczowa. Interesującym aspektem jest to, że równania, które dla liczb rzeczywistych nie miałyby rozwiązania (np. \(x^2 + 1 = 0\)), w zbiorze liczb zespolonych zawsze znajdą swoje pierwiastki.
Równania Kwadratowe o Współczynnikach Rzeczywistych i Zespolonych
Najprostszym typem równań, które rozszerzamy na zbiór liczb zespolonych, są równania kwadratowe postaci \(az^2 + bz + c = 0\). Tradycyjny wzór na pierwiastki kwadratowe, który znamy z liczb rzeczywistych, pozostaje w pełni aktualny:
\[ z = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \]
gdzie \(\Delta = b^2 – 4ac\) to wyróżnik (delta).
- Gdy współczynniki \(a, b, c\) są liczbami rzeczywistymi:
- Jeśli \(\Delta > 0\), istnieją dwa różne pierwiastki rzeczywiste.
- Jeśli \(\Delta = 0\), istnieje jeden pierwiastek rzeczywisty (podwójny).
- Jeśli \(\Delta < 0\), równanie nie ma pierwiastków rzeczywistych. W tym przypadku pojawiają się dwa sprzężone pierwiastki zespolone. Np., jeśli \(\Delta = -k\) dla \(k > 0\), to \(\sqrt{-k} = \sqrt{k}i\), a pierwiastki wynoszą \(z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{k}i}{2a}\). To pokazuje, jak liczby zespolone uzupełniają lukę w rozwiązywalności równań.
- Gdy współczynniki \(a, b, c\) są liczbami zespolonymi:
Wzór pozostaje ten sam, ale obliczenie \(\sqrt{\Delta}\) (gdzie \(\Delta\) jest teraz liczbą zespoloną) wymaga odrębnej metody. Pierwiastek kwadratowy z liczby zespolonej \(w = x + yi\) znajduje się często poprzez przejście na postać trygonometryczną lub rozwiązanie układu równań \((u+vi)^2 = x+yi\). W tym scenariuszu, rozwiązania równania kwadratowego zawsze będą liczbami zespolonymi, a twierdzenie o pierwiastkach sprzężonych (dla współczynników rzeczywistych) już nie obowiązuje.
Równania Wielomianowe Wyższego Stopnia
Dla równań wielomianowych stopnia wyższego niż drugi, np. \(a_n z^n + \dots + a_1 z + a_0 = 0\), poszukiwanie rozwiązań jest bardziej skomplikowane, ale liczby zespolone odgrywają tu kluczową rolę dzięki Zasadniczemu Twierdzeniu Algebry. Twierdzenie to mówi, że każdy wielomian stopnia \(n \ge 1\) o współczynnikach zespolonych (lub rzeczywistych) ma dokładnie \(n\) pierwiastków zespolonych (licząc z krotnościami).
Metody rozwiązywania:
- Szukanie pierwiastków wymiernych (dla współczynników rzeczywistych): Jeśli współczynniki są liczbami rzeczywistymi, można próbować znaleźć pierwiastki wymierne \(p/q\) (gdzie \(p\) jest dzielnikiem wyrazu wolnego \(a_0\), a \(q\) dzielnikiem współczynnika \(a_n\)). Po znalezieniu jednego pierwiastka, można zastosować schemat Hornera, aby obniżyć stopień wielomianu.
- Twierdzenie o pierwiastkach sprzężonych (dla współczynników rzeczywistych): Jeśli wielomian ma współczynniki będące liczbami rzeczywistymi, a \(z_0\) jest pierwiastkiem zespolonym, to jego sprzężenie \({\bar{z}}_0\) również musi być pierwiastkiem. To znacząco ułatwia znajdowanie pierwiastków parami.
- Wzory de Moivre’a i pierwiastki z jedności: Do rozwiązywania równań typu \(z^n = w\), gdzie \(w\) jest liczbą zespoloną, wykorzystuje się postać trygonometryczną i wzór de Moivre’a. Wszystkie \(n\) pierwiastków leżą na okręgu o promieniu \(\sqrt[n]{|w|}\) i są równomiernie rozmieszczone co \(\frac{2\pi}{n}\) radianów. Jest to szczególnie przydatne do znajdowania pierwiastków z jedności (\(z^n = 1\)), które mają szerokie zastosowanie.
- Faktoryzacja: Czasami można rozłożyć wielomian na czynniki niższego stopnia, na przykład \(z^3 – 1 = (z-1)(z^2+z+1)\). Następnie każdy czynnik rozwiązuje się osobno.
- Metody numeryczne: Dla złożonych równań, szczególnie tych bez analitycznych rozwiązań, stosuje się metody numeryczne, takie jak metoda Newtona-Raphsona, rozszerzone na płaszczyznę zespoloną.
Zdolność do przełączania się między różnymi formami liczby zespolonej (algebraiczną, trygonometryczną, wykładniczą) jest często decydująca dla skutecznego rozwiązania równania. Zrozumienie, kiedy współczynniki są liczbami rzeczywistymi, a kiedy zespolonymi, pozwala na zastosowanie odpowiednich twierdzeń i znacznie upraszcza proces.
Interpretacja Geometryczna Liczb Zespolonych: Płaszczyzna Gaussa-Arganda
Jednym z najbardziej eleganckich i intuicyjnych aspektów liczb zespolonych jest ich interpretacja geometryczna. Pozwala ona na wizualizację abstrakcyjnych pojęć algebraicznych, a co za tym idzie, na głębsze zrozumienie ich właściwości. Centralnym narzędziem tej interpretacji jest płaszczyzna zespolona, często nazywana płaszczyzną Gaussa-Arganda.
Płaszczyzna Gaussa-Arganda: Wizualizacja Liczb Zespolonych
W płaszczyźnie zespolonej każdą liczbę zespoloną \(z = a + bi\) można przedstawić jako punkt o współrzędnych \((a, b)\). Oś pozioma, nazywana osią rzeczywistą (lub osią Re), odpowiada części rzeczywistej \(a\). Oś pionowa, nazywana osią urojoną (lub osią Im), odpowiada części urojonej \(b\). W ten sposób wszystkie liczby rzeczywiste leżą na osi rzeczywistej (ich część urojona wynosi zero), podczas gdy czyste liczby urojone (np. \(3i\)) leżą na osi urojonej (ich część rzeczywista wynosi zero).
Punkt \((0,0)\) na płaszczyźnie zespolonej odpowiada liczbie \(0 + 0i\), czyli zero.
Ta geometryczna reprezentacja pozwala na interpretowanie operacji na liczbach zespolonych jako transformacji geometrycznych:
- Dodawanie i Odejmowanie: Dodanie liczby zespolonej \(z_2\) do \(z_1\) można zinterpretować jako przesunięcie wektora reprezentującego \(z_1\) o wektor reprezentujący \(z_2\). Jest to analogiczne do dodawania wektorów. Odejmowanie to dodawanie wektora przeciwnego.
- Mnożenie: Mnożenie przez liczbę zespoloną \(z_2 = r_2(\cos \phi_2 + i \sin \phi_2)\) oznacza obrócenie wektora reprezentującego \(z_1 = r_1(\cos \phi_1 + i \sin \phi_1)\) o kąt \(\phi_2\) (argument \(z_2\)) i skalowanie jego długości (modułu) przez \(r_2\) (moduł \(z_2\)). Zatem \(z_1 z_2\) będzie miało moduł \(r_1 r_2\) i argument \(\phi_1 + \phi_2\). Jest to niezwykle potężna interpretacja, zwłaszcza w kontekście fizyki i inżynierii. Mnożenie przez \(i\) odpowiada obrotowi o 90 stopni przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.
- Dzielenie: Dzielenie przez \(z_2\) to obrócenie wektora reprezentującego \(z_1\) o kąt \(-\phi_2\) i skalowanie jego długości przez \(\frac{1}{r_2}\).
- Sprzężenie: Sprzężenie liczby zespolonej \(z = a + bi\) to \({\bar{z}} = a – bi\). Geometrycznie odpowiada to odbiciu punktu reprezentującego \(z\) względem osi rzeczywistej. Jeśli \(z\) jest liczbą rzeczywistą, to \(z = {\bar{z}}\), co geometrycznie oznacza, że punkt leży na osi rzeczywistej i odbicie względem tej osi nie zmienia jego położenia.
- Moduł: Moduł \(|z|\) liczby zespolonej \(z\) to długość wektora łączącego początek układu współrzędnych z punktem reprezentującym \(z\). Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa, \(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\). Moduł jest zawsze liczbą rzeczywistą i odzwierciedla „rozmiar” liczby zespolonej.
Pierwiastki z Jedności i Inne Zastosowania Geometryczne
Interpretacja geometryczna jest szczególnie użyteczna przy wizualizacji pierwiastków z jedności, czyli rozwiązań równania \(z^n = 1\). Wszystkie \(n\) pierwiastków z jedności leżą na okręgu jednostkowym (okręgu o promieniu 1, środku w początku układu) i tworzą wierzchołki regularnego \(n\)-kąta foremnego. Na przykład, pierwiastki trzeciego stopnia z jedności (rozwiązania \(z^3=1\)) to \(1, -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2} – i\frac{\sqrt{3}}{2}\), które tworzą wierzchołki trójkąta równobocznego na okręgu jednostkowym.
Również warunki geometryczne, takie jak „zbiór punktów, dla których \(|z – z_0| = R\)”, można łatwo zinterpretować jako okrąg o środku \(z_0\) i promieniu \(R\). Podobnie, \(|z – z_1| = |z – z_2|\) opisuje symetralną odcinka łączącego \(z_1\) i \(z_2\).
Zrozumienie tej geometrycznej perspektywy nie tylko ułatwia rozwiązywanie wielu zadań, ale także pogłębia intuicję matematyczną, umożliwiając wizualne „widzenie” rozwiązań i relacji między liczbami zespolonymi, a także ich związek z liczbami rzeczywistymi jako specjalnym przypadkiem na osi.
Kluczowe Pojęcia i Wzory w Zadaniach z Liczb Zespolonych
Opanowanie terminologii i kluczowych wzorów jest niezbędne do sprawnego poruszania się w świecie liczb zespolonych. Poniżej przedstawiamy zestaw najważniejszych koncepcji, które stanowią podstawę do rozwiązywania większości zadań.
Postacie Liczb Zespolonych
- Postać Algebraiczna (Rectangular Form):
- \(z = a + bi\), gdzie \(a = \text{Re}(z)\) to część rzeczywista, a \(b = \text{Im}(z)\) to część urojona. Zarówno \(a\), jak i \(b\) są liczbami rzeczywistymi. Jest to najbardziej podstawowa forma, używana do dodawania, odejmowania i mnożenia.
- Przykład: \(z = 3 – 2i\) (tutaj \(a=3, b=-2\)).
- Postać Trygonometryczna (Polar Form):
- \(z = r(\cos \phi + i \sin \phi)\), gdzie \(r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}\) to moduł (długość wektora), a \(\phi = \arg(z)\) to argument (kąt). \(r\) jest zawsze liczbą rzeczywistą nieujemną, a \(\phi\) jest liczbą rzeczywistą (kątem w radianach lub stopniach).
- Przejście z postaci algebraicznej: \(\cos \phi = \frac{a}{r}\), \(\sin \phi = \frac{b}{r}\).
- Idealna do potęgowania, pierwiastkowania i wizualizacji obrotów.
- Postać Wykładnicza (Euler’s Form):
- \(z = re^{i\phi}\), gdzie \(e\) to podstawa logarytmu naturalnego. Jest to zwięzła forma, wynikająca ze wzoru Eulera: \(e^{i\phi} = \cos \phi + i \sin \phi\).
- Użyteczna w analizie harmonicznej, elektrotechnice i fizyce.
Wzory Kluczowe
- Wzór de Moivre’a:
- Dla liczby zespolonej \(z = r(\cos \phi + i \sin \phi)\) i dowolnej liczby całkowitej \(n\):
\[ z^n = r^n(\cos(n\phi) + i \sin(n\phi)) \] - Ten wzór jest nieoceniony przy potęgowaniu liczb zespolonych i wyznaczaniu pierwiastków \(n\)-tego stopnia z liczby zespolonej.
- Dla liczby zespolonej \(z = r(\cos \phi + i \sin \phi)\) i dowolnej liczby całkowitej \(n\):
- Pierwiastki \(n\)-tego stopnia z liczby zespolonej \(w\):
- Jeśli \(w = R(\cos \Theta + i \sin \Theta)\), to istnieje dokładnie \(n\) różnych pierwiastków \(z_k\), dla \(k = 0, 1, \dots, n-1\), dany wzorem:
\[ z_k = \sqrt[n]{R} \left( \cos\left(\frac{\Theta + 2k\pi}{n}\right) + i \sin\left(\frac{\Theta + 2k\pi}{n}\right) \right) \] - Wszystkie pierwiastki leżą na okręgu o promieniu \(\sqrt[n]{R}\) i są równomiernie rozmieszczone co \(\frac{2\pi}{n}\). Moduł \(\sqrt[n]{R}\) jest zawsze liczbą rzeczywistą.
- Jeśli \(w = R(\cos \Theta + i \sin \Theta)\), to istnieje dokładnie \(n\) różnych pierwiastków \(z_k\), dla \(k = 0, 1, \dots, n-1\), dany wzorem:
- Sprzężenie Liczby Zespolonej:
- Dla \(z = a + bi\), sprzężenie to \({\bar{z}} = a – bi\).
- Właściwości: \(z + {\bar{z}} = 2\text{Re}(z)\) (zawsze liczba rzeczywista), \(z – {\bar{z}} = 2i\text{Im}(z)\) (czysta liczba urojona), \(z \cdot {\bar{z}} = |z|^2 = a^2 + b^2\) (zawsze liczba rzeczywista nieujemna).
- Wzór Eulera:
- \(e^{i\phi} = \cos \phi + i \sin \phi\).
- Fundamentalne połączenie analizy, trygonometrii i liczb zespolonych. Prowadzi do słynnej tożsamości Eulera \(e^{i\pi} + 1 = 0\), która łączy pięć najważniejszych stałych matematycznych.
Zrozumienie, kiedy i jak stosować te wzory oraz jak przechodzić między różnymi postaciami liczby zespolonej, jest absolutnie kluczowe dla efektywnego rozwiązywania zadań. Pamiętając, że liczby rzeczywiste są podzbiorem liczb zespolonych, możemy traktować je jako liczby zespolone z zerową częścią urojoną, co ułatwia ujednolicone podejście do wielu problemów matematycznych.
Praktyczne Aspekty Rozwiązywania Zadań z Liczb Zespolonych: Krok po Kroku
Teoria liczb zespolonych, choć fascynująca, zyskuje prawdziwą wartość dopiero w praktyce. Skuteczne rozwiązywanie zadań wymaga nie tylko znajomości wzorów, ale także analitycznego myślenia, precyzji i umiejętności wyboru najbardziej optymalnej metody. Poniżej przedstawiamy praktyczne wskazówki i przykładowe scenariusze, które pomogą opanować to zagadnienie.
Strategia Rozwiązywania
- Analiza Problemów i Formy Liczb: Zawsze zaczynaj od dokładnego przeczytania zadania. Zidentyfikuj, jakie operacje są wymagane i w jakiej formie przedstawione są liczby. Często najbardziej efektywne jest przekształcenie liczb do odpowiedniej postaci przed rozpoczęciem obliczeń. Na przykład, do mnożenia i dzielenia na ogół preferowana jest postać trygonometryczna, zaś do dodawania i odejmowania – algebraiczna.
- Systematyczne Obliczenia: Liczby zespolone, zwłaszcza w postaci algebraicznej, mogą prowadzić do długich wyrażeń. Wykonuj obliczenia krok po kroku, zapisując każdy etap. To minimalizuje ryzyko błędów i ułatwia ich ewentualne wykrycie. Dbaj o czytelność zapisu.
- Wykorzystanie Tożsamości i Wzorów: Nie próbuj „na siłę” liczyć wszystkiego od zera. Pamiętaj o wzorach skróconego mnożenia, wzorze de Moivre’a, wzorach na pierwiastki z liczby zespolonej. Ich aplikacja znacząco upraszcza zadania, zwłaszcza te z wysokimi potęgami czy złożonymi pierwiastkami.
- Interpretacja Geometryczna: Gdy tylko jest to możliwe, spróbuj zwizualizować problem na płaszczyźnie Gaussa-Arganda. Czasem prosta interpretacja geometryczna może natychmiast wskazać rozwiązanie lub potwierdzić poprawność Twoich obliczeń. Na przykład, pierwiastki z jedności są natychmiast widoczne jako wierzchołki regularnego wielokąta.
- Weryfikacja Wyników: Po uzyskaniu rozwiązania zawsze warto je sprawdzić. W przypadku równań podstaw rozwiązanie do pierwotnego równania. W przypadku działań, jeśli to możliwe, wykonaj je alternatywną metodą lub użyj kalkulatora liczb zespolonych.
Przykładowe Scenariusze Zadań
Zadanie 1: Wykonaj działania na liczbach zespolonych.
Oblicz \((2 + 3i)^2 + \frac{5 – i}{1 + 2i}\).
- Krok 1: Potęgowanie. Używamy wzoru skróconego mnożenia \((a